μιγαδικοί αριθμοί

Αριθμοί που αποτελούνται από πραγματικές και φανταστικές μονάδες. Είναι γνωστό ότι η εξίσωση αx = β (πρώτου βαθμού), όπου α, β είναι ρητοί αριθμοί και α ≠ 0, έχει μία και μόνο μία λύση. Αυτό ισχύει, γενικότερα, και στην περίπτωση, που οι α, β είναι οποιοιδήποτε πραγματικοί αριθμοί και α ≠ 0. Με άλλα λόγια: το σύνολο των πραγματικών αριθμών επαρκεί για να λύσει τις εξισώσεις του πρώτου βαθμού. Αυτό, όμως, δεν ισχύει στην περίπτωση της εξίσωσης του δεύτερου βαθμού. Έτσι, για παράδειγμα, η εξίσωση x² + 1 = 0 δεν έχει κάποια λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, δηλαδή δεν υπάρχει κάποιος πραγματικός αριθμός, που να επαληθεύει την προηγούμενη εξίσωση. Αυτή η ανεπάρκεια του συνόλου των πραγματικών αριθμών οδήγησε στη θέση του προβλήματος ότι μπορεί να επεκταθεί το σύνολο των πραγματικών αριθμών και να δημιουργηθεί έτσι ένα ευρύτερο σύνολο, μέσα στο οποίο κάθε εξίσωση δεύτερου βαθμού να έχει λύση. Έτσι δημιουργήθηκε το σύνολο των μ.α. Το σύνολο αυτό συμβολίζεται με το γράμμα C (αρχικό της λέξης complex). Στο σύνολο αυτό C, κάθε εξίσωση δεύτερου βαθμού έχει λύση. Τα στοιχεία του συνόλου C ονομάζονται μ.α. Ένας μ.α. συμβολίζεται με: α + βi, όπου α και β πραγματικοί αριθμοί και i ένα ιδιαίτερο σύμβολο που λέγεται φανταστική μονάδα (ο i και ο –i είναι οι λύσεις της εξίσωσης x² + 1 = 0). Ο πραγματικός αριθμός α ονομάζεται πραγματικό μέρος, και ο πραγματικός αριθμός β φανταστικό μέρος του μ.α. α + βi. Η δομή του συνόλου C συνίσταται στα εξής: 1. (ισότητα). Λέμε ότι: ο μ.α. α + βi είναι ίσος με το γ + δi και γράφουμε τότε: α + βi = γ + δi, αν και μόνο αν είναι α = γ και β = δ. 2. (πρόσθεση). Ονομάζουμε άθροισμα των μ.α. α + βi και γ + δi με συμβολισμό: (α + βi) + (γ + δi) τον μ.α. (α + γ) + (β + δ)i, είναι δηλαδή (εξ ορισμού) (α + βi) + (γ + δi) = (α + γ) + (β + δ)ί. 3. (πολλαπλασιασμός). Ονομάζουμε γινόμενο του μ.α. α + βi επί τον μ.α. γ + δi και το συμβολίζουμε (α + βi) · (γ + δi) τον μ.α. (αγ - βδ) + (αδ + βγ)i, είναι δηλαδή (εξ ορισμού): (α + βi)(γ + δi) = (αγ - βδ) + (αδ + βγ)i (σ’ αυτό το εξαγόμενο φτάνουμε, τυπικά αν πολλαπλασιάσουμε τις παραστάσεις α + βi, γ + δi, νοώντας τες ως πρωτοβάθμια διώνυμα του i, και αντικαταστήσουμε μετά τον αριθμό i² με το -1). Μπορεί τώρα να αποδειχτεί ότι η δομή που ορίστηκε προηγούμενα, είναι η δομή ενός σώματος, είναι δηλαδή το C, όπως και το R, ένα σώμα. Το υποσύνολο του C, που αποτελείται από τους μ.α. της μορφής α + 0i (για κάθε πραγματικό αριθμό α) δεν διαφέρει από το R παρά μόνο κατά τον συμβολισμό, γι’ αυτό μπορεί το R να νοείται ως ένα υποσύνολο του C. Έτσι οι μ.α. του τύπου α + 0i συμβολίζονται χωρίς το 0i. Στο σύνολο C κάθε εξίσωση αx² + βx + γ = 0 με τον α ≠ 0 έχει δύο λύσεις (διαφορετικές μεταξύ τους), αν β² - 4αγ ≠ 0 και μία λύση (δύο συμπίπτουσες), αν β² - 4αγ = 0 (οι α, β, γ υποτίθεται ότι είναι μ.α.). Οι μ.α. με πραγματικό τους μέρος τον 0, δηλαδή οι 0 + βi (για κάθε πραγματικό αριθμό β), συμβολίζονται με βi και ονομάζονται: φανταστικοί αριθμοί (ειδικά ο 0 + 1i συμβολίζεται με το i). Το σύνολο των αριθμών αυτής της μορφής συμβολίζεται με Ι. Στο σύνολο C ισχύει, γενικότερα, ότι κάθε εξίσωση α₀x^v + α₁x^v-1 + ... + α_ν-1x + α_ν = 0 όπου οι α₀, α₁, …,α_ν είναι μ.α. και α₀ ≠ 0, έχει ν λύσεις (διαφορετικές είτε όχι), όπου ν είναι ο βαθμός της εξίσωσης. Είναι ενδιαφέρον να ειπωθεί ότι ο περιορισμένος σκοπός για τον οποίο κατασκευάστηκε το C από R, ξεπεράστηκε κατά πολύ. Έτσι οι μ.α. χρησιμοποιούνται σήμερα στη γεωμετρία (για τη λύση των προβλημάτων επιπεδομετρίας) και στη φυσική (για τη λύση για παράδειγμα προβλημάτων, που αναφέρονται στο εναλλασσόμενο ρεύμα). Μέτρο μ.α., έστω α + βi ονομάζεται ο μη αρνητικός αριθμός √α²+β². μιγαδικές ρίζες. Αν α είναι ένας μ.α., διάφορος από το 0, τότε υπάρχουν ν μ.α. (διάφοροι μεταξύ τους ανά δύο) με την ιδιότητα ότι: η ν-οστή δύναμη του καθενός είναι ο α. Αν είναι α = | α | · (συνθ + iημθ), τότε οι αριθμοί αυτοί είναι οι εξής: (1): Καθένας από τους αριθμούς αυτούς λέμε ότι είναι μιγαδική ρίζα του α, ν τάξης είτε (σύντομα): ρίζα του α, ν τάξης σημαίνει, με την έννοια της αριθμητικής, την ρίζα ν τάξης του | α |). Ειδικά οι ν ρίζες ν τάξης της μονάδας (α = 1) είναι οι μ.α. Το σύνολο των αριθμών (2) (των ριζών ν τάξης της μονάδας) με πράξη τον πολλαπλασιασμό του συνόλου C, των μ.α., είναι μια ομάδα (και μάλιστα μεταθετική). Μια ν τάξης ρίζα της μονάδας λέγεται αρχική (ή πρωτεύουσα), αν δεν είναι συγχρόνως ρίζα της μονάδας τάξης μ με μ < ν. Έτσι: 1) οι τάξης 2 ρίζες της μονάδας είναι οι αριθμοί -1, 1 (που εδώ, ιδιαίτερα, είναι πραγματικοί αριθμοί). Από αυτές τις δύο ρίζες η -1 είναι αρχική (αφού η 1 είναι και τάξης 1 ρίζα της μονάδας). 2) οι τάξης 3 ρίζες της μονάδας είναι οι: Από αυτές οι είναι αρχικές (αφού οι 1 και -1 είναι και τάξης 2 ρίζες της μονάδας). 3) οι τάξης 4 ρίζες της μονάδας είναι οι: -1, 1, i, -i Από αυτές οι -i, i είναι αρχικές. Από τον ορισμό της μιγαδικής ρίζας ν τάξης ενός μ.α. α συνάγεται ότι κάθε τέτοια ρίζα είναι μια λύση της εξίσωσης z^ν - α = 0 και αντίστροφα. Γενικότερα: κάθε ε ξίσωση: α₀ z^ν + α₁ z^v-1 + ... + α_v-1 z + α_ν = 0, όπου α₀, α₁ ..., α_ν είναι μ.α. και α₀ ≠ 0, έχει τουλάχιστον μία λύση, υπάρχει δηλαδή τουλάχιστον ένας αριθμός λ + μi ο οποίος την επαληθεύει. Κάθε τέτοιος αριθμός ονομάζεται μιγαδική ρίζα της εξίσωσης (η ρίζα αυτή ενδέχεται να είναι και πραγματικός αριθμός αφού το σύνολο R των πραγματικών αριθμών είναι υποσύνολο του συνόλου C των μ.α.). Ακόμα γενικότερα: αν f είναι μια συνάρτηση της μιγαδικής μεταβλητής z με τις τιμές της μ.α., τότε κάθε μ.α. ζ με f(ζ) = 0 ονομάζεται μιγαδική ρίζα της εξίσωσης f(z) = 0 είτε της συνάρτησης f. μιγαδική συνάρτηση. Ονομάζεται έτσι κάθε συνάρτηση που ορίζεται σ’ ένα υποσύνολο του συνόλου C των μ.α., με το πεδίο των τιμών της επίσης υποσύνολο του C. Η θεωρία των μιγαδικών συναρτήσεων αποτελεί ένα κεφάλαιο της μαθηματικής ανάλυσης. Γενικότερα ορίζεται και η έννοια της μιγαδικής συνάρτησης με περισσότερες από μία μεταβλητές. Τέτοιες συναρτήσεις μελετώνται σήμερα στη μαθηματική ανάλυση.